Υποστήριξη Διδακτορικής Διατριβής - Παναγιώτης Β. Αλατάς

Στις κβαντικές θεωρίες πεδίου, τα διαγράμματα Feynman αναπαριστούν εικονικά την αλληλεπίδραση στοιχειωδών σωματιδίων και περιλαμβάνουν κλειστούς βρόγχους που αντιστοιχούν σε ολοκλήρωση πάνω σε όλους τους πιθανούς συνδυασμούς ενέργειας και ορμών των εικονικών σωματιδίων, τα οποία ταξιδεύουν στο χωροχρονικό συνεχές, οδηγώντας συχνά σε απειρισμούς. Για να αντιμετωπιστούν αυτοί οι απειρισμοί, είναι αναγκαία η επανακανονικοποίηση των παραμέτρων της θεωρίας. Η επανακανονικοποίηση καθορίζει τις σχέσεις μεταξύ των παραμέτρων της θεωρίας, των οποίων οι τιμές σε μεγάλες κλίμακες μήκους διαφέρουν από εκείνες σε μικρές κλίμακες. Πίσω από την επανακανονικοποίηση βρίσκεται το πρόβλημα της κατάλληλης εξάλειψης βαθμών ελευθερίας έτσι ώστε να γεφυρωθούν περιγραφές σε διαφορετικές κλίμακες μήκους και χρόνου. Η θερμοδυναμική εκτός ισορροπίας προσφέρει μια εναλλακτική προσέγγιση στο πρόβλημα της χρονικής εξέλιξης ενός ανοιχτού κβαντικού συστήματος μέσω της διατύπωσης μιας χρονομεταβαλλόμενης καταστατικής εξίσωσης για τον πίνακα πυκνότητας πιθανοτήτων (density matrix) του συστήματος, η οποία εμπεριέχει αντιστρεπτές και μη αντιστρεπτές συνεισφορές. Ειδικά οι μη αντιστρεπτές διεργασίες εισάγουν μηχανισμούς αποσβεστικής εξομάλυνσης των όρων που είναι υπεύθυνοι για τους απειρισμούς και έτσι συνεισφέρουν τα μέγιστα στη σωστή συμπεριφορά της θεωρίας.

Ο σκοπός της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι η εφαρμογή της αποσβεστικής κβαντικής θεωρίας πεδίου (ΑΚΘΠ - dissipative quantum field theory, DQFT) η οποία αναπτύχθηκε από τον Καθ. Δρ. Hans Christian Öttinger στην περίπτωση της βαθμωτής φ⁴ θεωρίας, στην οποία οι αλληλεπιδράσεις εμπλέκουν πάντα τέσσερα βαθμωτά σωματίδια, ώστε να υπολογίσουμε τα διαταρακτικά αναπτύγματα έως και όρους τρίτης τάξης ως προς την παράμετρο αλληλεπίδρασης των συναρτήσεων συσχέτισης δύο σημείων (two-point correlation function) και τεσσάρων σημείων (four-point correlation function), οι οποίες είναι γνωστές ως διαδότης (propagator) και συνάρτηση κορυφής (effective interaction vertex), αντίστοιχα, στο όριο μηδενικής θερμοκρασίας, καθώς επίσης να εξάγουμε τα σχετικά διαγράμματα Feynman στα οποία (στα πλαίσια της ΑΚΘΠ) τα γεγονότα αλληλεπίδρασης παρουσιάζουν μια σαφώς καθορισμένη χρονική αλληλουχία. Για την επίτευξη αυτού, αναπτύξαμε έναν κατάλληλο συμβολικό κώδικα ώστε το αποτέλεσμα των εντολών που εκτελούν τον υπολογισμό των όρων της κάθε συνάρτησης σε μία δεδομένη τάξη να οργανώνεται και απλοποιείται ώστε να φτάσουμε σε ένα πιο συμπαγές αποτέλεσμα, από το οποίο επιτυγχάνεται πιο καθαρά η ταυτοποίηση των σχετικών Feynman διαγραμμάτων. Έναυσμα για τη χρήση συμβολικών υπολογισμών ήταν το γεγονός ότι οι υπολογισμοί της διαταρακτικής θεωρίας στην ΑΚΘΠ σε d διαστάσεις (d είναι ο αριθμός των χωρικών διαστάσεων) είναι δραματικά πιο περίπλοκοι από τους συνήθεις υπολογισμούς σε D = d + 1 (D είναι ο αριθμός των χωρικών + χρονικών διαστάσεων) της Λαγκρανζιανής κβαντικής θεωρίας πεδίου, δημιουργώντας έναν τεράστιο αριθμό όρων αυξανομένου του βαθμού της διαταραχής. Όπως ήταν αναμενόμενο, οι απορρέουσες εκφράσεις του διαδότη και της συνάρτησης κορυφής είναι ένα άθροισμα όρων που αντιστοιχούν σε συνεισφορές μηδενικής, πρώτης, δευτέρας και τρίτης τάξης. Οι όροι έως και δευτέρας τάξης έχουν ήδη παρουσιαστεί από τον Καθ. Δρ. Hans Christian Öttinger. Στην παρούσα διατριβή, υπολογίσαμε τη συνεισφορά τρίτης τάξης των δύο συναρτήσεων συσχέτισης η οποία ανάγεται σε όρους συνδεδεμένων (connected) και ασύνδετων (unconnected) διαγραμμάτων Feynman των οποίων η τοπολογία μελετήθηκε. Στο όριο μηδενικής τριβής, τα αποτελέσματα για τις δύο υπό μελέτη συναρτήσεις συσχέτισης (διαδότης και συνάρτηση κορυφής) ταυτίζονται με εκείνα της κλασσικής Λαγκρανζιανής προσέγγισης. Αυτό επιτυγχάνεται ολοκληρώνοντας τα D-διάστατα ολοκληρώματα της Λαγκρανζιανής προσέγγισης ως προς τη διάσταση του χρόνου ή της ενέργειας, καταλήγοντας σε d-διάστατα ολοκληρώματα της αποσβεστικής προσέγγισης. Η τελική έκφραση του διαδότη έως και τρίτης τάξης επανακανονικοποιείται με δύο μεθόδους, μία εκ των οποίων είναι η λεγόμενη “on shell”, καταλήγοντας έτσι σε αποτελέσματα που δεν εμφανίζουν απειρισμούς σε d = 3 διαστάσεις. Ένα πολύ σημαντικό αποτέλεσμα είναι ότι από τον συνδυασμό όρων δευτέρας και τρίτης τάξης στον διαδότη, στο όριο των μεγάλων χρόνων, η θεωρία επαληθεύει την τιμή της κρίσιμης σταθεράς σύζευξης λ^* συναρτήσει του αριθμού των χωρικών διαστάσεων d, γεγονός που επιδεικνύει τη δύναμη της νέας αποσβεστικής προσέγγισης αλλά και των νέων υπολογιστικών εργαλείων που αναπτύχθηκαν στα πλαίσια της παρούσας διατριβής. Αναφορικά με τη συνάρτηση κορυφής, το αντίστοιχο αποσβεστικό αποτέλεσμα εκφράζεται σε όρους μια παραμέτρου η οποία περιγράφει το βαθμό παραβίασης της διατήρησης ενέργειας. Αμελώντας την ορμή των εισερχόμενων και εξερχόμενων σωματιδίων και θεωρώντας ότι η μάζα των εικονικών σωματιδίων είναι μηδενική, καταλήγουμε σε μια συμπαγή και αρκετά φιλική έκφραση, από την οποία φαίνεται ότι οι όροι της συνάρτησης κορυφής δεν εμφανίζουν απειρισμούς στο όριο μηδενικής τριβής, γεγονός που είναι πολύ σημαντικό για την αποσβεστική θεωρία που εφαρμόστηκε. Επιπλέον, παρατηρούνται αρκετές εντυπωσιακές ομοιότητες με το αντίστοιχο αποτέλεσμα της Λαγκρανζιανής προσέγγισης στην ίδια τάξη της διαταραχής, οι οποίες συζητούνται εκτενώς.