Στοιχεία Μαθήματος
Διδάσκων (Διδάσκοντες):
Μεταπτυχιακά Μαθήματα, Χειμερινό
Τύπος μαθήματος: Ειδίκευσης
Γλώσσα Διδασκαλίας: Αγγλικά/Ελληνικά
Κωδικός Μαθήματος: GCHM_C641
Μονάδες ECTS: 8
Διαθέσιμότητα μαθήματος σε φοιτητές Erasmus: Όχι
Λεπτομέρειες Μαθήματος

Σκοπός του μαθήματος είναι να παρουσιάσει στους μαθητές στοιχεία της πλούσιας φαινομενολογίας της ποιοτικής συμπεριφοράς δυναμικών συστημάτων στις φυσικές επιστήμες και τη μηχανική. Είναι επίσης να τους δώσει τα βασικά μαθηματικά και υπολογιστικά εργαλεία, ώστε να μπορέσουν να μελετήσουν τη συμπεριφορά αυτή σε συγκεκριμένα μοντέλα/πειράματα.

1.  Μαθηματικό/Υπολογιστικό Υπόβαθρο
1α.  ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (Υπαρξη και μοναδικότητα λύσης. Ολοκληρωτικές καμπύλες και τροχιές. Σημεία ισορροπίας σε αυτόνομα συστήματα). 1β. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΗΘΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ (Γενική λύση. Λύση για σύστημα με σταθερό πίνακα)
1 γ. ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΗΘΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩ­ΣΕΩΝ (Αυτόνομα γραμμικά συστήματα. Μη αυτόνομα ομογενή γραμμικά συστήματα)
2.  Ποιοτική Δυναμική Συμπεριφορά.
2α. ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΩΡΟΥ ΦΑΣΕΩΝ (Διδιάστατο γραμμικό σύστημα. Γραμμικά συστήματα περισσότερων των δύο διαστάσεων. Μη γραμμικά συστήματα και το Πρώτο Θεώρημα του Liapunov. Το πρόβλημα των καθαρά φανταστικών ιδιοτιμών. Μη στοιχειώδη σημεία ισορροπίας. Αλλα χαρακτηριστικά του χώρου φάσεων).
2β. ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ (Ευστάθεια σημείων
ισορροπίας μη γραμμικού συστήματος. Αμεσες μέθοδοι ανάλυσης ευστάθειας και το Δεύτερο Θεώρημα του Liapunov).
2γ. ΟΡΙΑΚΟΙ ΚΥΚΛΟΙ (Εύρεση οριακών κύκλων. Απεικόνιση Poincare και ευστάθεια οριακών κύκλων. Ευστάθεια σημείων ισορροπίας απεικονίσεων. Ανάλυση χαρακτηριστικών ευστάθειας οριακών κύκλων).
3.  Διακλαδώσεις και Χαοτική Συμπεριφορά
3α. ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΚΛΑΔΩΣΕΩΝ (Δομική ευστάθεια και διακλαδώσεις. Διακλαδώσεις σημείων ισορροπίας συστημάτων διαφορικών εξισώσεων. Διακλαδώσεις σημείων ισορροπίας απεικονίσεων. Διακλαδώσεις οριακών κύκλων συστημάτων διαφορικών εξισώσεων. Ολικές διακλαδώσεις).
3β. ΧΑΟΣ (Εκθέτες Liapunov. Χαοτική συμπεριφορά απεικονίσεων. Διαστατικότητα παράξενων ελκυστών. Τρόποι μετάβασης στο χάος).
4.  Στοιχεία Αριθμητικής Θεωρίας Διακλαδώσεων
(Η μέθοδος Newton-Raphson. Συνέχισις. Προβλήματα οριακών τιμών για την εύρεση οριακών κύκλων. Σύγχρονες μέθοδοι εύρεσης ιδιοτιμών/ιδιοδιανυσμάτων πινάκων για υπολογισμούς ευστάθειας).
5.  Ειδικά Θέματα
(Συστήματα βαθμίδας ροής. Διατηρητικά συστήματα. Μη αντιστρεπτά συστήματα.
Έλεγχος χαοτικών συστημάτων).

  1. S. H. Strogatz, «Nonlinear Dynamics and Chaos, with Applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineerings Addison-Wesley, Reading, Ma. (1994)
  2. J. Guckenheimer and P. Holmes, «Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcation of Vector Fields», Springer-Verlag 1983.