Αριθμητική Ανάλυση

Στοιχεία Μαθήματος
Διδάσκων (Διδάσκοντες):
Προπτυχιακά Μαθήματα, 4o Εξάμηνο (2ο Έτος, Εαρινό)
Κατηγορία μαθήματος: Υποχρεωτικά Μαθήματα
Τύπος Μαθήματος: Υποβάθρου
Γλώσσα Διδασκαλίας: Ελληνικά
Κωδικός Μαθήματος: CHM_660n
Μονάδες: 9
Μονάδες ECTS: 8
Τύπος Διδασκαλίας: Διαλέξεις (4Ωρ./Εβδ.) Φροντηστήριο (1Ωρ./Εβδ.) Εργαστήριο (4Ωρ./Εβδ.)
Διαθέσιμότητα μαθήματος σε φοιτητές Erasmus: Όχι
Σύνδεσμος URL Περιεχομένου Μαθήματος: CMNG2129
Λεπτομέρειες Μαθήματος

Με την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος, οι φοιτητές θα είναι σε θέση να:

  • Κατανοούν τις βασικές αρχές και τη θεωρία πίσω από τις αριθμητικές μεθόδους επίλυσης μαθηματικών προβλημάτων.
  • Επιλύουν γραμμικά και μη γραμμικά συστήματα εξισώσεων χρησιμοποιώντας κατάλληλους αλγορίθμους (π.χ. Gauss,  LU,  Newton-Raphson).
  • Εφαρμόζουν τεχνικές παρεμβολής, αριθμητικής ολοκλήρωσης και διαφόρισης σε σύνολα δεδομένων.
  • Προσομοιώνουν προβλήματα αρχικών και συνοριακών τιμών επιλύοντας συνήθεις και μερικές διαφορικές εξισώσεις (π.χ. Runge-Kutta, πεπερασμένες διαφορές).
  • Αναπτύσσουν αλγορίθμους και γράφουν κώδικα σε σύγχρονα περιβάλλοντα προγραμματισμού (π.χ. MATLAB, Python, C++) για την πρακτική επίλυση των παραπάνω.
  • Αναζήτηση, ανάλυση και σύνθεση δεδομένων και πληροφοριών, με τη χρήση και των απαραίτητων τεχνολογιών.
  • Εφαρμογή της γνώσης στην επίλυση σύνθετων προβλημάτων.
  • Αυτόνομη εργασία.
  • Προαγωγή της ελεύθερης, δημιουργικής και επαγωγικής σκέψης.

Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση. Αναγκαιότητα των αριθμητικών τεχνικών. Παραδείγματα και εφαρμογές. Λογισμικό προγραμματισμού.

Άμεσες Μέθοδοι για την Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων. Νόρμες Διανυσμάτων και Πινάκων. Γραμμικά Συστήματα εξισώσεων. Γραμμική Άλγεβρα και αντιστροφή πίνακα. Η ορίζουσα ενός πίνακα. Απαλοιφή Gauss. H τεχνική των εναλλαγών. Παραγοντοποίηση πίνακα (LU). Ειδικού τύπου πίνακες. Ο αλγόριθμος του Thomas.

Επαναληπτικές Τεχνικές Για την Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων. Θετικά ορισμένος Πίνακας. Οι Επαναληπτικές τεχνικές Jacobi και Gauss-Siedel. Επαναληπτικές τεχνικές για την Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων. Τεχνικές χαλάρωσης. Επαναληπτική Βελτίωση διανύσματος υπολοίπων. Οι μέθοδοι απότομης-καθόδου και συζυγών κλίσεων.

Αριθμητική Επίλυση Μη Γραμμικής Εξίσωσης. Η μέθοδος της διχοτόμησης. Επαναληπτικές μέθοδοι σταθερού σημείου. Μέθοδος του Νεύτωνα και βελτιώσεις της.

Αριθμητική Επίλυση Συστήματος Μη-Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων. Μέθοδοι σταθερού σημείου για συναρτήσεις πολλαπλών μεταβλητών. Μέθοδος του Νεύτωνα για συναρτήσεις πολλών μεταβλητών. Μέθοδοι Quasi-Newton.

Μέθοδοι Παρεμβολής. Πολυώνυμα Vandermonde. Πολυώνυμα Lagrange. 

Αριθμητική παλινδρόμηση. Μέθοδος γραμμικών και μη-γραμμικών ελαχίστων τετραγώνων.

Αριθμητική Χωρική Ολοκλήρωση. Στοιχεία αριθμητικής ολοκλήρωσης (Τραπεζίου, Simpson 1/3, 3/8). Σύνθετη αριθμητική ολοκλήρωση. Ολοκλήρωση κατά Gauss. Γενικευμένα Ολοκληρώματα.

Αριθμητική διαφόριση και παραγώγιση. Εισαγωγή στις πεπερασμένες διαφορές.

Προβλήματα Αρχικών Τιμών. Η Θεωρία των προβλημάτων αρχικών τιμών. Μέθοδος του Euler (Αναλυτή, Μη αναλυτή και Τροποποιημένη). Υψηλής τάξης μέθοδοι Taylor. Ευστάθεια αριθμητικών μεθόδων. Άκαμπτες διαφορικές εξισώσεις.

Προβλήματα Αρχικών Τιμών. Μέθοδοι Πολυβηματικές μέθοδοι. Runge-Kutta. Σφάλμα ελέγχου και η μέθοδος Runge-Kutta-Fehlberg.

Αριθμητική Επίλυση Προβλημάτων Συνοριακών Τιμών. Μέθοδοι πεπερασμένων διαφορών για γραμμικά προβλήματα. Εφαρμογή Συνοριακών Συνθηκών Dirichlet & Neuman.

Αριθμητική Επίλυση Προβλημάτων Συνοριακών Τιμών. Μέθοδοι πεπερασμένων διαφορών για μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις.

Χρήση πλατφόρμας e-class για την ανάρτηση υλικού, επικοινωνία με φοιτητές, και υποβολή εργασιών. Χρήση λογισμικών προγραμματισμού και μαθηματικού υπολογισμού.

Οργάνωση Διδασκαλίας

Δραστηριότητα

Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου
Διαλέξεις

39 ώρες (13 εβδ. x 3 ώρες)

13 ώρες (13 εβδ. x 1 ώρα)
Εργαστηριακή Άσκηση 24 ώρες (6 εβδ. x 4 ώρες)
Επίλυση ασκήσεων στο σπίτι Επίλυση ασκήσεων στο σπίτι (Projects): 60 ώρες
Μελέτη θεωρίας & ανάλυση βιβλιογραφίας Μελέτη θεωρίας & ανάλυση βιβλιογραφίας: 70 ώρες
Εξετάσεις 3 ώρες
Σύνολο Μαθήματος 206 ώρες

Συνολικός Φόρτος Εργασίας (ECTS Standards):

206 Ώρες

(70%): Αξιολόγηση Τελικής Γραπτής Εξέτασης που περιλαμβάνει επίλυση προβλημάτων και ερωτήσεις θεωρίας. 

(30%): Αξιολόγηση Έξι (6) Εργαστηριακών Ασκήσεων / Programming Projects  και Έξι (6) Εισητήριων Ασκήσεων που παραδίδονται κατά τη διάρκεια του εξαμήνου στο υπολογιστικό κέντρο του ΤΧΜ. 

Δικαίωμα συμμετοχής στη γραπτή εξέταση έχουν αποκλειστικά οι φοιτητές που έχουν παρακολουθήσει το σύνολο των εργαστηριακών ασκήσεων. Η προϋπόθεση αυτή πιστοποιείται βάσει του αρχείου παρουσιών που τηρείται από τους υπευθύνους του Εργαστηρίου και του Μαθήματος.

  • Gilat Amos, Subramaniam Vish, Αριθμητικές Μέθοδοι & MATLAB για Μηχανικούς και Επιστήμονες,  Broken Hill (2025)

  • Σημειώσεις διδασκόντων (αναρτημένες στο e-class).